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venerdì 20 febbraio 2015

Il Cubo di un Binomio

Il cubo di un binomio
Uno degli argomenti più noti della matematica destinata alle scuole medie e superiori, il cubo di un binomio rappresenta uno dei cosiddetti prodotti notevoli, ovvero un'identità di tipo algebrico che ricorre spesso nel calcolo letterale. 


Moltiplicando tali polinomi, si sono scoperte alcune regole generali per il loro calcolo, che possono essere riassunte in alcuni algoritmi specifici. Per comprendere come calcolare il cubo di un binomio, osserviamo la seguente procedura:

Il cubo può generalmente essere espresso tramite la formula (x + y)^3. Esso può quindi essere scomposto, secondo le regole della moltiplicazione, in (x + y)^2 * (x + y), ottenendo per questo un risultato identico. A tal punto è semplice poter utilizzare le regole relative ad un altro prodotto notevole, ovvero il quadrato di un binomio, che come ricorderemo prevede i seguenti passi: elevare alla seconda i due termini, per poi sommarli al doppio prodotto del primo per il secondo, ovvero: x^2 + y^2 + 2xy. A ciò andrà poi naturalmente moltiplicato il secondo termine della moltiplicazione tra polinomi, ovvero (x + y).

Naturalmente, quanto visto sopra vala anche nel caso in cui il calcolo del cubo di un binomio presenti una sottrazione, ovvero sia così formalizzato: (x - y)^3. Controllando i termini dei nostri prodotti, possiamo accorgerci di poter ricavare una formula generale che racchiuda ogni caso del cubo di un binomio: ovvero x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3. La formula è una generalizzazione, ed ovviamente vale anche nel caso in cui i termini mediani siano negativi.


Possiamo inoltre enunciare il tutto affermando che il cubo del binomio risulta essere uguale al cubo del primo termine (indicato con x), sommato al triplo prodotto del quadrato derivato dal primo termine,moltiplicato per secondo e sommato al triplo prodotto del secondo termine moltiplicato per il primo (3x^2y + 3xy^2), a cui viene naturalmente aggiunto il cubo dell'ultimo termine (y). Abbiamo così ricavato una formula in grado di essere applicata in ogni caso in cui ci viene domandato il calcolo del cubo di un binomio in via generale.

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