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lunedì 23 febbraio 2015

Come si calcola l'area del cerchio

Come si calcola l'area del cerchio
La professoressa ti ha assegnato un compito che non sai risolvere? Nel compito devi riuscire a calcolare l'area del cerchio, e per farlo devi capire come si calcola l'area del cerchio partendo dalla definizione di cerchio e di circonferenza, questo per poi applicarlo a degli esempi concreti e risolvere un esercizio. Ti ricordo che abbiamo già scritto: Come calcolare la circonferenza di un cerchio

Cos'è un cerchio?


I libri di geometria definiscono il cerchio come la “parte di piano delimitata da una circonferenza”, e come sicuramente saprete (per approfondire e se avete ancora qualche dubbio in materia consultate: come si calcola la circonferenza), la circonferenza è quella linea curva chiusa contraddistinta dal fatto che tutti i punti che la compongono hanno la stessa distanza da un altro punto detto “centro”. Questa distanza prende il nome di raggio e viene indicata con la lettera r minuscola.

In poche parole: la circonferenza può essere intesa come il “perimetro” del cerchio, mentre con il  termine “cerchio” intendiamo l'area di questa particolare figura.

Arriviamo quindi al punto... ovvero

Come calcolare l'area del cerchio


Devi sapere che è possibile trasformare il cerchio in un particolare parallelogramma che ha per altezza il raggio e per base la metà della circonferenza. Tagliando il nostro cerchio “a fette” a forma di triangolo isoscele il cui lato obliquo deve essere di lunghezza uguale al raggio, prendendo queste “fette” e riposizionandole possiamo infatti formare una figura molto simile a un parallelogramma. Questo esperimento puoi ripeterlo anche a casa la prossima volta che ordini una pizza.

L'area di un parallelogramma è molto semplice da calcolare, infatti è uguale al prodotto della base per l'altezza della figura: 


Noi sappiamo che questo particolare parallelogramma ha la base uguale a metà circonferenza (C) e l'altezza uguale al raggio (r), quindi:

                                                                 A= b h; 
h=r
b=1/2 C = (2πr)/2= πr

Sostituendo nella formula, otteniamo quindi che:

A= πr*r= πr^2


Semplificando il due a numeratore con il due a denominatore e dal momento che moltiplicare il raggio per se stesso vuol dire elevarlo al quadrato, arriviamo quindi alla formula che compare sui libri, cioè:

A=πr^2

In conclusione, possiamo affermare che l'area del cerchio è uguale al prodotto della costante pi greco per il quadrato del raggio. 


Dopo aver spiegato qual è e come si ottiene la formula per l'area del cerchio, adesso vi mostrerò un esempio di problema svolto in cui bisogna applicare questa formula:

“Un cerchio ha l'area di 72,25 π cm². Calcola l'area del rettangolo inscritto nel cerchio e avente una dimensione di 15 cm e la lunghezza della circonferenza.”

In questo problema l'area del cerchio ci viene già fornita, quindi dobbiamo procedere utilizzando una formula inversa. 


Prima di tutto, dobbiamo disegnare questa figura. Ci viene detto che dobbiamo calcolare l'area del rettangolo inscritto al cerchio di area 72,25 π cm², ciò significa che dobbiamo disegnare un rettangolo che si trova all'interno di una circonferenza e i cui vertici vi appartengono.


Ci viene chiesto di trovare l'area del rettangolo e la misura della circonferenza: per rispondere a questa domanda, abbiamo la necessità di trovare il raggio. Avendo come dato l'area del cerchio, ci basterà applicare una formula inversa a quella dell'area per trovare il raggio, quindi:

A=πr^2

r^2= A/π


r= √(A/π) =  √(72,25 π cm²/π) = 8.5 cm



Otteniamo quindi che il raggio misura 8.5 cm. Calcoliamo quindi la misura della circonferenza:

C= 2πr= 2π*8.5 cm = 17π cm


Abbiamo risposto alla prima domanda. Per rispondere alla seconda, dobbiamo ragionare sul disegno: osservando bene, vediamo che il raggio forma un triangolo rettangolo con la metà della dimensione che ci viene fornita e con la proiezione di metà dell'altra dimensione sul diametro. Avendo a disposizione dai dati una dimensione, che per comodità chiameremo con la b di base, e il raggio che ci siamo calcolati, troviamo la metà della seconda dimensione, che chiameremo con la h di altezza, utilizzando il teorema di Pitagora.

h= 2* √(r^2-(b/2)^2)= √(8.5^2-7.5^2) = 8 cm


Abbiamo trovato che la seconda dimensione misura 8 cm. Ora il gioco è fatto: sapendo che l'area del rettangolo è uguale al prodotto delle due dimensioni, ci basterà moltiplicare i nostri due dati per rispondere anche al secondo quesito.

A= b h= 15*8= 120 cm


Il nostro problema è risolto.

Spero di esservi stato utile.

(Giulio Scremin)

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